Kūns Lēnartss 2003. gada 7. oktobrī tika iecelts par Eiropas Savienības Tiesas tiesnesi un pildīja palātas priekšsēdētāja pienākumus no 2006. līdz 2012. gadam, kad tika apstiprināts tiesas priekšsēdētāja vietnieka amatā. 2015. gada 8. oktobrī Kūns Lēnartss tika ievēlēts par Eiropas Savienības Tiesas priekšsēdētāju un ieņem šo amatu joprojām.

Satversmes tiesa ir atzinusi, ka, noskaidrojot nacionālo normatīvo aktu saturu un piemērojot tos, ir jāņem vērā demokrātiju stiprinošie Eiropas Savienības tiesību akti un Eiropas Savienības Tiesas judikatūrā nostiprinātā to interpretācija. Tiesu dialogs Eiropas tiesiskajā telpā un starptautiskā sadarbība aptver Satversmes tiesas dialogu, cita starpā, ar Eiropas Savienības Tiesu.

Strādājot Eiropas Savienības Tiesas priekšsēdētāja amatā, Kūns Lēnartss ir mērķtiecīgi un pēctecīgi sekmējis šo dialogu, daudzas reizes ar darba vizītēm viesojoties Latvijā, un tādējādi nepastarpināti piedaloties Latvijas tiesiskās sistēmas attīstībai svarīgu jautājumu risināšanā. Satversmes tiesa un Latvijas tiesu sistēmai piederīgās institūcijas, cita starpā, pateicoties Kūna Lēnartsa ieguldījumam, īsteno ļoti ciešu tiesisko sadarbību ar Eiropas Savienības Tiesu visaugstākajā līmenī un dažādos formātos, kas sekmē tiesiskuma un Latvijas konstitucionālās identitātes aizsardzību, kā arī tiesu prioritāti kļūt arvien atvērtākām sabiedrībai, dialoga ietvaros tuvinot tiesiskumu ikvienam cilvēkam Latvijā un Eiropā.