K. Kviglijs ir plaši atzīts tiesu advokāts (barrister) un vadošais jurists prestižajā Serle Court advokātu birojā Londonā. Viņa specializācija aptver ES tiesības, ar īpašu ekspertīzi konkurences un valsts atbalsta tiesību jomās. Viņš pamatoti tiek uzskatīts par vienu no Apvienotās Karalistes vadošajiem ekspertiem valsts atbalsta tiesību jomā. Savas karjeras laikā viņš ir uzstājies daudzās augstākā līmeņa tiesās, tostarp Apvienotās Karalistes Augstākajā tiesā, Lordu palātā, Apelācijas tiesā, kā arī Eiropas Savienības Tiesā un Vispārējā tiesā. K. Kviglijs ir pārstāvējis plašu klientu loku – gan Apvienotās Karalistes un Īrijas Republikas valdības, gan Eiropas Komisiju, gan arī valsts un privātos uzņēmumus, privātpersonas, kā arī dažādas Apvienotās Karalistes valsts institūcijas. Papildus tiesvedībām K. Kviglijs aktīvi iesaistās izmeklēšanu procesos un sūdzību izskatīšanā gan Eiropas Komisijas Konkurences ģenerāldirektorātā, gan Apvienotās Karalistes Godīgas tirdzniecības birojā (Office of Fair Trading).

2022. gadā K. Kviglijs tika iecelts par viesprofesoru praksē (Visiting Professor in Practice) Londonas Ekonomikas skolā, apliecinot viņa augsto reputāciju akadēmiskajā un profesionālajā vidē. Paralēli tam viņš darbojas kā viespētnieks Oksfordas Universitātes Eiropas un salīdzinošo tiesību institūtā, kā arī kopš 2012. gada ir pētnieks Londonas Karaliskās koledžas Eiropas tiesību centrā.

Eiropas mērogā K. Kviglijs ir pazīstams kā augsti novērtētās monogrāfijas “European State Aid Law and Policy” autors, kuru izdod prestižā izdevniecība Hart Publishing. Šis izsmeļošais darbs piedāvā padziļinātu un visaptverošu analīzi par ES valsts atbalsta tiesisko regulējumu, tā piemērošanu un politisko kontekstu. Monogrāfijā aplūkoti valsts atbalsta jautājumi to plašākā ekonomiskajā, komerciālajā un industriālajā perspektīvā, padarot to par būtisku resursu gan akadēmiskajā, gan profesionālajā vidē.